超几何分布公式

超几何分布：从有限总体中不放回抽样的概率模型

在这个模型中，总体被划分为成功元素和失败元素。当我们从总体中进行不放回抽样时，我们关心的是样本中成功元素的数量。这种分布被称为超几何分布，其公式基于组合数，可以精确计算特定成功次数的概率。

参数说明：

1. \\(N\\)：总体的元素总数。

2. \\(K\\)：总体中成功元素的数量。

3. \\(n\\)：从总体中抽取的样本数量。

4. \\(k\\)：样本中的成功次数。其取值范围受限于 \\(\max(0, n + K - N) \leq k \leq \min(n, K)\\)。

公式推导：

公式的分子部分表示从成功元素中选择k个并从失败元素中选择n-k个的组合数。具体来说，\\(\\dbinom{K}{k}\\) 表示从 \\(K\\) 个成功元素中选择 \\(k\\) 个的组合数，而 \\(\\dbinom{N-K}{n-k}\\) 表示从 \\(N-K\\) 个失败元素中选择 \\(n-k\\) 个的组合数。

分母 \\(\\dbinom{N}{n}\\) 表示从总体 \\(N\\) 中抽取 \\(n\\) 个元素的总组合数。

期望与方差：

期望 \\(\\mathbb{E}(X) = n \\cdot \\frac{K}{N}\\) 表示在多次抽样中，成功次数的平均值。方差 \\(\text{Var}(X)\\) 衡量了成功次数与期望值的偏离程度，其公式为 \\(n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1}\\)。

应用场景：

超几何分布适用于有限总体不放回抽样的情况。例如，在产品质量检测中，我们可以将其应用于抽检次品的情况。扑克牌组合概率也是一个典型的应用场景。

示例：

假设我们有 \\(N=10\\) 个产品，其中 \\(K=3\\) 个是次品。如果我们从这10个产品中抽取 \\(n=5\\) 个，我们想要知道恰有 \\(k=2\\) 个次品的概率。

公式计算如下：

\(P(X=2) = \frac{\dbinom{3}{2} \dbinom{7}{3}}{\dbinom{10}{5}} = \frac{3 \cdot 35}{252} \approx 0.4167\)

这意味着在抽取的5个产品中，恰好有2个次品的概率约为0.4167。

超几何分布为我们提供了一种考虑不放回影响的精确概率模型，通过组合数公式，我们可以计算出特定成功次数的准确概率。