相似三角形练习题

一、基础判定与性质

1. A字型模型初探

已知：如图，DE与AB平行，且CD的平方等于CF乘以CA。

：（1）求证EF与BD的平行性；（2）若AC、CF的乘积等于BC、CE的乘积，求证BD的平方等于DE乘以BA。

2. 平行线判定

在三角形ABC中，DE与BC平行，EF与AB平行。求证：三角形ADE与三角形EFC相似。

3. 相似三角形的面积与周长之比

已知三角形ABC与三角形DEF的相似比为2:1，若三角形ABC的周长为24cm，求三角形DEF的周长；若三角形ABC的面积为36cm²，求三角形DEF的面积。答案：三角形DEF的周长为12cm，面积为9cm²。

二、中等难度应用挑战

4. 反A型模型的

在某一图形中，D、E位于BC上，FD与AB平行，FE与AC平行。求证：三角形ABC与三角形FDE的相似性。

5. 一线三直角模型的分析

在一个正方形ABCD中，M为BC的中点，MN垂直于AM并交CD于N。求证：三角形ABM与三角形MCN的相似性，并求出CN的长度。

6. 比例线段的综合考察

在矩形ABEF中，ABCH、CDGH、DEFG均为正方形。判断三角形ACD与三角形ECA是否相似，并说明理由。

三、综合提升实战

7. 勾股定理与相似三角形的结合

在直角三角形ABC中，AD为斜边BC的中线，FG与BC平行并交AD于G。若FG等于1，AD等于根号5，求出BG的长度，并证明三角形BGE与三角形BDA的相似性。

8. 动态几何问题的

在三角形ABC中，D位于AC上，作角BDE等于角A，E位于AB上。当BD的平方等于DE乘以BA时，求D点的位置，并分析其相似的条件。

9. 复杂比例判定的挑战

已知AD乘以AB等于AE乘以AC，DF与AC平行。求证：三角形DOF与三角形DOB的相似性。

四、答案与思路

1.（题1（1）答案）利用平行线的性质以及等比代换，可以推导出EF与BD的平行性。

2.（题5答案）通过角度的余角性质以及直角条件，可以证明两个三角形相似，并利用比例关系求出CN的长度为边长三分之一。其他题目的答案及思路请参照题目进行推导和证明。