世界最弯球 世界上最接近圆的球体
在世界足坛，有一座球场因其独特的建筑风格和卓越的设施而备受瞩目。这座球场不仅是世界上最弯的人工足球场，还是拥有高达80米高的人工草坪，其高度甚至超过了美国科罗拉多大峡谷的某些部分。在这里，观众不仅可以欣赏到足球比赛的激烈激情，还能感受到大自然的美景。球场的容量达到了两万人，设计合理，足以容纳众多热情的球迷。由于场地广阔，周边交通时常拥堵，因此许多球迷选择乘坐公交车前往球场，既节省时间又避免堵车的烦恼。
这座球场还承载着许多有关球类运动物理的奥秘。对于喜欢球类运动的人来说，球的飞行和滚动所涉及的物理原理是非常有趣的。这篇文章将聚焦于这些话题，表面粗糙度和尺寸对球飞行的影响，了解弧线球和飘球的成因，以及投篮的角度和速度等因素。还将涉及斯诺克球台的库高和保龄球球道上油的作用等方面的内容。
篮球、排球、足球、乒乓球、网球、台球和高尔夫球等球类运动是广受欢迎的体育运动，它们不仅关乎全民的身体素质，也关系到国家的荣誉。在提高运动水平方面，除了群众基础外，基础研究和创新也是至关重要的。
作者对于球类运动物理的兴趣源于一个具体的问题：如果足球守门员大力开球，同样的角度和初速度下，表面光滑的球和表面粗糙的球哪一个飞得更远？经过深入研究，作者发现其中涉及到了许多深奥的物理学原理。比如著名物理学家J. J. Thomson早在1910年就对高尔夫球的研究表明，球的表面设计对于其飞行距离有着重要影响。事实上，一个表面光滑的球，在专业选手手中击出后的飞行距离，可能只有布满凹痕的球的一半。
对于足球来说，其竞赛规则要求球的外壳必须用皮块缝合而成，大约有2000个针眼，这些针眼形成的缝线凹槽对球的飞行有着重要影响。守门员大力开球时，如果球是光滑的，没有这些缝线凹槽的帮助，恐怕就很难将球踢到对方半场。这其中涉及到的原理就是“边界层”的概念。
在流体力学的领域中，我们的是流体的迹线，这些迹线描绘了同一时刻空间各点流速的方向。在定常流动的状态下，流线和迹线是相同的，也就是说，当流动情况不随时间改变时，我们可以观察到流体的稳定轨迹。
以图中的两条平行等距的相邻流线为例，当它们接近一个球体时，间距开始缩小，在某一特定点达到最小，然后逐渐扩大，恢复到原来的平行等距状态。在定常流动的情况下，单位时间内流过相邻流线间任一截面的流体质量是恒定的。这意味着，从接近球的前端点到球的顶端或底部点，气流是加速的，而在靠近球体的一侧，气流是减速的。
根据我们熟知的伯努利定理，两点间气体压强与高度有关。在球体周围的流场中，由于对称性，球体感受到的净压强为零。也就是说，没有额外的阻力作用在球体上。
当我们在考虑球体表面存在边界层的情况时，事情就变得复杂了。图2(b)展示了这种情况，边界层用虚线表示。从某一点开始，边界层和外部气流都是加速的。尽管边界层中存在黏性摩擦导致的能量损耗，倾向于使层内的流体减速，但在压强差的推动下，边界层气流会沿球面前进。在其他区域，压强增加，边界层失去推动力，无法到达某些点，而是在这些点在球面分离。这种分离后的气流变得不规则，形成湍流状态的尾流。
这种状态，即边界层与球面的分离以及尾流的存在，是球在飞行中受到阻力的主要原因。阻力与速度的平方成正比，一般表达为Fd=(1/2)CdρAv²。图3展示了不同表面光滑度的球的空气阻力系数随雷诺数的变化曲线。我们可以看到，当球速超过某一临界值时，空气阻力系数会急剧下降。这是因为边界层失稳，导致流速快的外部气流和接近球面的较慢气流混合。这种现象在表面粗糙的球上更为明显，因为粗糙的表面有助于边界层和外部气流的混合。
再来看弧线球和弧圈球的情况。足球运动员踢出的弧线球，在空中划出一条美妙的曲线，绕过人墙飞入球门。从力学原理来看，球的转向一定是受到了侧向力的结果。图4展示了球顺时针旋转时周围流线分布的情况。由于球的转动，球表面运动方向和气流速度方向一致的部分会带动边界层运动，推迟了边界层与球面的分离。这样，在球转动时，流线以及分离点的位置呈现出非对称的形式，气流也在经过球后发生了转向。这就是马格纳斯效应的体现。马格纳斯力的大小与气流速度、球的旋转频率和球的大小有关。知道了空气阻力和马格纳斯力的表达式，我们就可以计算球的飞行轨道。
流体力学的世界充满了奇妙和复杂性。从流体的迹线、边界层的存在到空气阻力和马格纳斯效应，每一个细节都揭示了流体运动的美丽和神秘。在乒乓球运动中，弧圈球无疑是一项备受瞩目的技术。当运动员挥动球拍，发出正手拉加转弧圈球和前冲弧圈球时，它们带着强烈的上旋飞向对面。这些球的周向速度与气流相反，产生一种特殊的马格纳斯力。不同于其他情形，这种力是向下的，使得球的飞行弧线降低，并在触台后产生急剧的前冲下滑，威力惊人。
在排球运动中，发球是唯一的无需他人配合就能直接得分或破坏对方一传的技术。其中的飘球技术自上世纪60年代兴起，包括上手飘球、勾手飘球和跳发飘球等。由于这些飘球的飞行轨迹具有不确定性，时而左忽右，时而上升时而下沉，使得接球方难以捉摸。这种技术的关键在于击球要快速有力，并且作用力必须通过球心，使得球在运动中不旋转或转动极慢。
风洞实验揭示了飘球的一些奥秘。当球的初速度达到一定范围，比如从3m/s增加到10m/s时，球的飘晃距离会逐渐增大，达到最大值。此时的球速使得空气阻力达到一个临界值，使得球在飞行中产生明显的飘晃。当速度继续增加至16m/s时，飘晃距离则会明显减小。为了发挥飘球的最大威力，发球时球离手的速度应该尽可能高，使过网后的速度仍能保持在10m/s或更高。
对于飘球产生机制的分析，我们参考了关于不同表面粗糙度球的实验结果。考虑到排球的直径、空气的密度和黏性系数，我们可以计算出速度在临界范围内的雷诺数。当球的直径与粗糙部分的高度达到一定的比例时，随着速度的减小，空气阻力会急剧增加，导致球偏离预定轨道突然下沉。排球的表面由18块球皮构成，每组3块，组间接缝的走向和排列方式都会影响球的飘晃或摆动。这种侧向力是由边界层的行为产生的，一些看似微小的表面粗糙度或气流中的涡旋都会显著影响分离点的位置。
高尔夫球运动中也存在着小球和大球的争议。英国高尔夫球管理委员会和美国高尔夫球协会对于球的尺寸有着不同的规定。虽然差别看似微小，但对击球者的影响却十分显著。实验和理论研究显示，在射程和侧风影响方面，两种球确实存在一些差异。最终，为了统一标准，适应职业球员在不同国家的巡回比赛，英国高尔夫球协会决定采用大球作为通用规则。
而在现代乒乓球运动中，由于中国和其他欧亚国家的乒乓球水平显著提高，球的速度和旋转强度加大到使每分球的回合次数明显减少，人们逐渐失去了观看兴趣。为了提高比赛的观赏性，国际乒联决定改变球的直径和重量。除了让观众更清晰地观看比赛外，更重要的是适当降低球速和旋转。这对分寸的掌握极为重要。在新规定出台前，国际乒联委托中国乒协开展了一项实验，研究不同直径和重量的乒乓球对击球速度和旋转的影响。除了原有的小球（称为A球）外，实验还选择了直径40mm的两种大球，分别是重2.79g的B球和与A球重量相同但具体规格未详的C球。实验结果表明，在相同的正手攻球和正手扣杀情况下，大球B的速度下降较小，为2%-4%，而C球的速度下降幅度较大，达到8%-13%。在拉球的旋转程度方面，B球和C球的旋转程度都有所下降，但下降幅度更大。对于实验结果背后的原因，实验报告并未进行深入的分析。
从物理学的角度来看，空气阻力对球体速度的影响不可忽视。空气阻力与球的截面积成正比，因此不同重量和尺寸的球体在空气中运动时会产生不同的减速度。对于大球B，虽然重量有所增加，但由于可能采用与A球相同厚度的材料制作，其空气阻力特性与A球相近，因此速度下降较小。而对于球C，由于其重量分布或尺寸的变化导致空气阻力增大，因此速度下降更多。
在旋转程度的变化时，除了考虑空气阻力的影响外，还需要考虑球体材料、弹性以及旋转时边界层摩擦损耗的增加等因素。乒乓球运动员都知道，球拍上的海绵层厚度会影响拉球的旋转性，因此球C和球B的差异可能与球B的球壳较薄、弹性稍差有关。
关于大球的重量选择，实验结果表明选择比球B稍轻一些的球重能够降低速度和旋转的降低幅度。从比赛的角度来看，小球变大球以及每局改为11分制的改革在提高球赛观赏性方面取得了显著成功。比赛的回合增多，削球手重回赛场，使得乒乓球比赛更加精彩。
在篮球投篮方面，虽然空气阻力对篮球飞行的影响较小，但在讨论最佳投篮角度时仍需考虑空气阻力的存在。篮筐的高度、球的出手位置和速度以及投篮者的身高都会影响投篮角度的选择。通过分析和计算，我们可以得出在给定条件下篮球出手的速度和角度之间的关系曲线。为克服空气阻力的影响，投球的速度要稍有增加。
在台球运动中，击球点的选择也是非常重要的。以丁俊晖为代表的中国军团的崛起提升了国人对台球运动的关注度。在击球时，如果通过球心水平方向击球，会产生滑动和转动两种效果。为了避免初始阶段的滑动，需要选择合适的击球点，使球从一开始就以滚动的形式运动。具体的击球点高度可以通过理论计算得出，这要求有合适的瞬间行为，使D点（与台面接触的球的部分）的瞬间行为有如不动的转轴。
无论是乒乓球、篮球还是台球，都有其独特的运动规律和技巧。通过深入理解和分析这些规律，我们可以更好地掌握这些运动技能，提高比赛成绩。台球与保龄球的物理奥秘
台球，这一深受人们喜爱的室内运动，其背后的物理原理令人着迷。英式斯诺克台球的直径约为5厘米，库高尺寸的选择是为了让球在碰到岸边时能够平稳反射，以滚动的方式运动。这样的设计显著减小了能量损失，保持了球的速度。对于保龄球运动员来说，这一位置也是他们日常击球时的首选击球点。
相对于台球的简单明了，保龄球运动则更为复杂。保龄球的重量和直径虽有限定，但球体并不完全均匀和对称。树脂材料制作的保龄球内含有形状各异的重物块，这使得球的回转半径有所不同，球心和质心位置也不重合。这种差异对球的转动惯量产生影响，使得转动惯量张量无法对角化。高质量的球会尽量缩小这种差异，例如回转半径之差不超过0.2厘米，球心和质心的距离控制在小于或等于1毫米。但即便如此，微小的差异仍会对球的运动轨迹产生明显影响。
保龄球的球道设计巧妙，宽42英寸，长约18.28米。球道的制作材料以及表面油况都会影响球的滚动。球道的上油区与不上油区的摩擦系数存在显著差异，上油区的摩擦系数较低，约为0.04，而不上油区的摩擦系数一般不超过0.20。这种差异为比赛增加了难度和变数。模拟计算表明，除了球的初速度和旋转程度外，球道摩擦系数的变化是决定球的运动轨迹的最重要因素。
在篮球运动中，跑动中投篮的准确度同样受到物理原理的支配。球员在跑动中运球时，除非需要变换速度和方向，否则只需垂直向下拍球。投篮时，球员需要根据跑动速度和方向调整瞄准点。实际上，在出手角度确定后，篮球进入篮框的速度差别很小，但通过刻苦练习和摸索，职业球员可以达到较高的命中率。从物理学的角度，我们可以从优秀运动员的投篮角度、速度、手法等检验和修正理论分析所用的物理模型。运动员了解相关物理原理后，可以在练习中更加自觉，缩短摸索的过程。
无论是台球、保龄球还是篮球，其背后都蕴含着丰富的物理原理。对这些原理的深入理解和应用，不仅可以帮助运动员提高运动水平，还可以为运动器材的设计和改进提供指导。创新是提升运动水平的关键，而物理学则为我们提供了创新的源泉。在中国乒乓球队的辉煌时期，从上世纪五十年代到八十年代前期，中国乒乓球技术经历了前所未有的飞速发展。这一时期，世界公认的技术创新共29项，其中中国的贡献高达22项，占据了惊人的75.9%。这些技术创新大部分是通过运动员和教练员在实际比赛中的不断获得的，展现出了中国人民的智慧与勇气。
历史的车轮滚滚向前，到了八十年代末到九十年代，中国的乒乓球技术遭遇了一段困难时期。在这一阶段，尽管有7项公认的技术创新，但中国仅占据一项，占比骤降至14.3%。这与当时中国乒乓球队在国际重要比赛中的表现不佳相呼应，留下了不少遗憾。显然，除了实战经验的积累，我们还需要从理论层面去深入和研究乒乓球技术，更需要科研人员为我们提供新的视角和思路。
物理研究在这其中起着至关重要的作用。从流体力学、力学、运动学等多个角度出发，物理研究为乒乓球技术的发展提供了坚实的理论基础。例如，从流体力学的角度，可以研究乒乓球的空气动力学特性，为优化球的轨迹和速度提供理论支持；从运动学的角度，可以分析乒乓球运动员的动作和技巧，为提升运动员的表现提供科学的训练方法。
这一时期的一些文献也为我们提供了宝贵的参考。如Thomson JJ在1910年发表的论文，普郎特等人的《流体力学概论》，以及一系列关于乒乓球技术与物理研究的论文。这些文献不仅记录了当时的研究成果，也为我们今天的乒乓球技术研究和物理研究提供了宝贵的启示。
面对新的历史时期，我们既要继承和发扬过去的优良传统，又要积极新的理论和方法。只有这样，我们才能在未来的乒乓球技术发展中取得更大的突破，再次站在世界的巅峰。这不仅是对运动员和教练员的挑战，更是对科研人员和所有热爱乒乓球的人的挑战。让我们共同期待，未来的中国乒乓球能够更加辉煌！
参考文献：
（省略参考文献）
本文仅为趣谈球类运动的物理及《物理》杂志五十年来的精选文章，不代表中科院物理所的立场。如需深入了解或进一步研究，请查阅相关文献资料。