点到平面的距离公式

在一个三维空间中，我们有一个特定的点P(x_0, y_0, z_0)，它向着一个平面Ax + By + Cz + D = 0延伸。这个平面的法线向量是n=(A, B, C)。为了计算点P到平面的距离，我们可以使用向量投影的方法。假设平面上有一个点Q(x_1, y_1, z_1)，它也满足这个平面方程。从点Q指向点P的向量是QP=(x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1)。

点P到平面的距离d，可以通过计算向量QP在法线向量n上的投影的绝对值，再除以法线向量的长度来得到。公式表达为：d = |QP·n| / |n|。其中，QP与n的点积为：A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1) + C(z_0 - z_1)。由于点Q在平面上，所以满足Ax_1 + By_1 + Cz_1 = -D，因此上述点积可以简化为Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D。

法线向量n的长度是：√(A^2 + B^2 + C^2)。点P到平面的距离公式为：d = |Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)。

让我们验证一下这个公式的正确性。如果点P正好在平面上，即Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0，那么距离d应该是0，这符合我们的预期。再比如说，如果我们考虑一个平面z=0，即一个与xy平面平行的平面，那么任何一点到它的距离都会是它的z坐标的绝对值。再比如原点(0, 0, 0)到平面x + y + z + 1 = 0的距离计算结果也符合直观感受。

我们得到的点到平面的距离公式是：距离d等于Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D的绝对值，除以向量n的长度（即√(A^2 + B^2 + C^2)）。这就是点到平面的距离公式，我们可以将它记作：距离d = |Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)。这个公式简洁明了，能够帮助我们快速计算出任何点到任何平面的距离。